Axiomas: significado, tipos y ejemplos

Un axioma es un enunciado que se toma como punto de partida dentro de una ciencia, una teoría o un sistema de razonamiento. Se considera suficientemente evidente, básico o útil para no necesitar una demostración previa, y a partir de él pueden formularse otras proposiciones, hipótesis, teorías o teoremas.

En el uso actual, un axioma no tiene por qué ser una verdad absoluta e inmutable. Su validez depende del sistema en el que se emplea y de la aceptación que recibe en una comunidad científica durante un periodo determinado. Por eso, un axioma puede ser revisado, reformulado o incluso rechazado si cambian los conocimientos o los fundamentos de una disciplina.

Resumen

Un axioma es un enunciado adoptado como fundamento de una ciencia, teoría o sistema de razonamiento, sin demostración previa. Su validez depende del marco y de la aceptación científica, por lo que puede revisarse o rechazarse. Los sistemas axiomáticos reúnen axiomas, definiciones y reglas de inferencia para deducir teoremas. Se emplean especialmente en lógica y matemáticas, aunque también en geometría, física, biología y comunicación. Se distinguen de postulados y principios por su función fundacional.

Qué caracteriza a un axioma

Los axiomas cumplen varias funciones que permiten diferenciarlos de otros enunciados:

• Sirven como fundamentos para construir un razonamiento más amplio.
• No se deducen de otras proposiciones pertenecientes al mismo sistema.
• En el marco en que se aplican, se aceptan sin una demostración previa.
• Permiten obtener consecuencias lógicas, demostrar teoremas o formular hipótesis.
• Pueden tener un alcance general o estar limitados a una disciplina concreta.

La evidencia atribuida a un axioma no significa necesariamente que cualquier persona lo considere indiscutible. En las ciencias formales, por ejemplo, su importancia procede sobre todo de la coherencia que mantiene con los demás principios y de la utilidad que posee para desarrollar el sistema. En otras áreas, un enunciado puede funcionar como supuesto inicial de una teoría aunque después sea sometido a comprobación, discusión o modificación.

El sistema axiomático

Un sistema axiomático es un conjunto organizado de axiomas, postulados, definiciones y reglas de inferencia. Su finalidad es establecer una base desde la cual puedan deducirse otras proposiciones. Las matemáticas y la lógica utilizan este procedimiento de manera especialmente sistemática, aunque también aparecen formulaciones axiomáticas en la física, la biología y las teorías de la comunicación.

Dentro de un sistema conviene distinguir los axiomas de los teoremas. El axioma se adopta como fundamento; el teorema, en cambio, se demuestra mediante axiomas, definiciones y reglas de razonamiento. Los postulados suelen desempeñar una función semejante, aunque tradicionalmente se los ha asociado con principios propios de una disciplina particular, como la geometría.

Ámbitos en los que se utilizan

Los axiomas aparecen en las ciencias formales, como la lógica y la matemática, porque estas disciplinas construyen sus resultados mediante relaciones definidas entre símbolos y proposiciones. También pueden encontrarse en la geometría, la mecánica clásica, la biología y determinados modelos científicos. En estos casos, el enunciado funciona como una premisa básica de la teoría, no necesariamente como una verdad válida fuera de ella.

Según el campo, los axiomas pueden expresar relaciones entre números, propiedades de las figuras, reglas lógicas, supuestos sobre los seres vivos o principios sobre la comunicación humana. Por esa razón, no existe una única clase de axioma ni una sola forma de redactarlo.

Ejemplos agrupados por disciplina

Geometría y postulados clásicos

Varios principios atribuidos a la geometría euclidiana describen construcciones o relaciones elementales entre puntos, líneas, segmentos y ángulos. Entre ellos se encuentran los siguientes:

• Con un punto fijado como centro y una longitud determinada como radio puede construirse una circunferencia. Este principio pertenece a los postulados de Euclides.
• Los ángulos rectos poseen la misma medida. También forma parte de los postulados atribuidos a Euclides.
• Dos puntos fijan el segmento que los une.
• Un segmento puede prolongarse indefinidamente siguiendo la misma dirección para formar una recta ilimitada.
• La distancia más breve entre dos puntos se representa mediante una línea recta.
• Por tres puntos solo puede pasar una recta, según la formulación geométrica tradicional del principio.
• Una recta está compuesta por una cantidad ilimitada de puntos.
• Dos rectas paralelas no llegan a encontrarse.
• Dos rectas no pueden delimitar por sí solas una región cerrada.

Matemática y teoría de conjuntos

En la matemática elemental y en la teoría de conjuntos se han formulado principios relativos a las cantidades, la igualdad, los números naturales y la relación entre un conjunto y sus elementos o partes. Algunos ejemplos son:

• La totalidad equivale a la suma de las partes que la componen.
• Si se agregan cantidades iguales a otras cantidades iguales, las nuevas cantidades conservan la igualdad entre sí.
• En el contexto de los números positivos, sumar una cantidad produce un resultado mayor que cualquiera de las cantidades que intervienen.
• Un conjunto se considera mayor que cada una de sus partes propias.
• La sucesión de los números no tiene un último elemento.
• El número 1 pertenece al conjunto de los números naturales.
• El 1 no aparece como sucesor de otro número natural.
• Si un número es natural, el número que le sigue en la sucesión también lo es.
• Dos números naturales que poseen exactamente el mismo sucesor deben ser el mismo número.
• El axioma de elección afirma que, dada una familia de conjuntos no vacíos, puede seleccionarse un elemento de cada conjunto para formar otro conjunto de elecciones. Su formulación se asocia con Ernst Zermelo.

Lógica

La lógica utiliza principios que regulan la relación entre las proposiciones. Uno de los más conocidos sostiene que una misma proposición no puede ser verdadera y falsa simultáneamente bajo las mismas condiciones. Este principio se conoce como principio de no contradicción y sirve para distinguir razonamientos compatibles de aquellos que se excluyen mutuamente.

Biología

En la biología también se han propuesto enunciados generales para expresar supuestos sobre el origen y la conservación de la vida. Entre las formulaciones citadas se encuentran estas:

• En las condiciones del conocimiento actual, la vida procede de otra vida y no de materia inerte.
• La materia inerte no puede recibir o transmitir vida por sí sola.
• Cuando se altera el estado térmico de un biosistema, ese estado no puede restablecerse exactamente.

Estas formulaciones deben entenderse dentro del marco teórico en el que se emplean. En biología, un enunciado llamado axioma puede actuar como supuesto general de una teoría, aunque su alcance y su interpretación estén sujetos al debate científico.

Cosmología y física

En una formulación relacionada con la teoría del Big Bang se parte del supuesto de que, en las primeras etapas del universo, existían gases inertes. En la mecánica clásica, uno de los principios asociados con Isaac Newton establece que un cuerpo conserva el reposo o el movimiento que lleva mientras no actúe sobre él una fuerza capaz de modificar ese estado. Este último principio se vincula con la ley de la inercia.

Comunicación

Paul Watzlawick formuló cinco axiomas de la comunicación humana. No son axiomas matemáticos, sino principios destinados a describir regularidades de las relaciones comunicativas:

1. Es imposible no comunicar, porque incluso el silencio, la ausencia de respuesta o una conducta corporal pueden transmitir información.
2. El significado de un mensaje depende también de la relación establecida entre quien emite y quien recibe.
3. La comunicación está condicionada por la manera en que cada participante organiza y puntúa la secuencia de los acontecimientos comunicativos.
4. La comunicación combina una dimensión digital, relacionada con los signos y las palabras, y otra analógica, vinculada con gestos, tonos y comportamientos.
5. Las relaciones comunicativas pueden ser simétricas, cuando los participantes se sitúan en un plano de equivalencia, o complementarias, cuando adoptan posiciones diferentes.

Axioma, postulado y principio

En el lenguaje general, axioma, postulado y principio pueden aparecer como términos próximos, ya que los tres designan una idea fundamental. Sin embargo, no siempre son intercambiables. Axioma suele referirse a una proposición aceptada como base de un sistema; postulado se emplea con frecuencia para una suposición propia de una disciplina, especialmente en geometría; y principio puede designar una regla general, un fundamento teórico o una ley básica.

La palabra axioma se escribe con x y su plural es axiomas. En un texto conviene precisar el sistema o la teoría a la que pertenece cada uno, porque una afirmación puede ser válida como supuesto dentro de un modelo y no tener el mismo alcance en otro. Así se evita presentar como verdad universal lo que en realidad es una premisa dependiente de determinadas condiciones.